Tính giao hoán

Bảng Cayley có thể cho ta biết liệu một nhóm có phải là nhóm abel hay không. Vì phép tính trong nhóm có tính giao hoán, một nhóm là nhóm abel khi và chỉ khi bảng Cayley của nó đối xứng qua đường chéo. Nhóm cyclic cấp 3 ở trên và nhóm {1, -1} là một trong các ví dụ về nhóm abel và kiểm tra đối xứng trong bảng Cayley đảm bảo điều này. Trái lại, nhóm phi abel nhỏ nhất, nhóm nhị diện cấp 6, không có bảng Cayley đối xứng

Tính kết hợp

Vì tiên đề kết hợp là bắt buộc khi làm việc với nhóm, ta không cần phải kiểm tra tính kết hợp khi xét bảng Cayley. Tuy nhiên, bảng Cayley cũng được dùng để mô tả phép toán trong vị nhóm (vị nhóm không yêu cầu tính kết hợp, và đúng vậy, bảng Cayley có thể dùng để mô tả mọi magma hữu hạn). Nhưng bảng Cayley không thể cho ta biết phép toán có tính kết hợp hay không vì tính kết hợp dựa trên tích của 3 phần tử, trong khi bảng Cayley chỉ cho ta xem tích của 2 phần tử.

Hoán vị

Theo luật loại trừ trong nhóm (và cả trong vị nhóm), không có hàng hay cột nào lặp lại một phần tử hai lần. Do đó mỗi hàng và cột là một hoán vị của tất cả các phần tử trong nhóm.

Để hiểu lý do vì sao một hàng hay một cột không thể chứa nhiều hơn một phần tử, đặt a, x, y là các phần tử trong nhóm, với x, y phân biệt. Khi đó ta sẽ có giá trị ax và ay tương ứng với hàng a giao với cột x và cột y. Nếu ax = ay, có nghĩa là trong hàng a có phần tử xuất hiện 2 lần, thì theo luật loại trừ ta sẽ có x = y, trái ngược với giả thuyết ban đầu. Ta có thể dùng điều này để chứng minh tương tự cho trường hợp cột. Bởi nhóm được cho là hữu hạn, nguyên lý ngăn kéo Dirichlet đảm bảo mỗi phần tử trong nhóm chỉ xuất hiện trong mỗi cột và mỗi hàng đúng 1 lần.

Do đó, bảng Cayley của nhóm là một ví dụ về hình vuông latin.